Category Archives: Mathematik

Die Mathematik hinter Google

Sicher haben sich viele im Mathe-Unterricht immer wieder die Frage gestellt, wo man das Ganze den irgendwann einmal brauchen wird. Die Antwort der meisten Lehrer, das das wichtig für´s Leben sein soll hat wohl die wenigsten zufrieden gestellt. Hier soll nun ein Beispiel vorgestellt werden, wozu Matrizen und Eigenwerte in Zusammenhang mit dem Internet und… Read More »

Drehungen

In der Mathematik versteht man unter einer Drehung eine spezielle Abbildung um einen Fixpunkt, der alle Abstände gleich (invarianz) lässt. Es geht also mit anderen Worten darum, einen Punkt um einen Feinen bestimmten Winkel ∂ um einen Fixpunkt (z.B. den Ursprung) zu drehen. Mathematisch kann das beispielsweise über Matrizen und Vektor-Operationenbeschrieben werden. Hierzu wird im… Read More »

Zahlensysteme

Zahlen werden in sogenannten Zahlensystemen dargestellt. Die Zahlen werden dabei nach bestimmten Regeln als Folge von Ziffern bzw. Zeichen dargestellt.  Üblicherweise gehen wir vom Dezimalsystem aus, wenn wir von Zahlen sprechen. Es gibt aber angefangen von kleinsten Zahlensystem, dem dualen System beliebig viele Zahlensysteme, die alle nach dem gleichen Prinzip aufgebaut sind. Jede Zahl besteht darin… Read More »

Logistische Gleichung

Die logistische Gleichung ist eine gewöhnliche, nichtlineare Differentialgleichung mit deren Hilfe das Wachstums einer Population beschrieben werden kann. Die Gleichung basiert auf folgenden Überlegungen: Ausgangsgröße ist eine bestimmte Population . Jedes Mitglied dieser Population vermehrt sich mit einer bestimmten Wachstumsrate , dann berechnet sich die Folge-Population über folgende Beziehung:     Um nun die Anzahl… Read More »

Vollkommene Zahlen

Vollkommene Zahlen sind diejenigen positiven ganzen Zahlen, die mit der Summe ihrer echten Teiler übereinstimmen. Echte Teiler einer Zahl sind alle Teiler ohne die Zahl selbst. D.h. die Teiler der Zahl 6 sind {1,2,3,6}, die Menge der echten Teiler ist {1,2,3}. Bildet man die Summe der echten Teiler und stimmt sie mit der Zahl überein… Read More »

Die Legendre Transformation

Die Legendre-Transformation ist eine Berührungstransformation, mit dem Ziel die Abhängigkeit einer Funktion f(x) von der Variablen x durch eine Transformation der Variablen x in eine andere Variable u zu verändern. Beispielsweise kommen in der Physik oft Funktionen vor, die von Variablen abhängig sind, deren Wert nicht direkt bestimmt werden kann. In diesen Fällen kann es zweckmässig sein, diese… Read More »

Über die Wärmeleitgleichung…

Unter Wärmeleitung  wird in der Physik der Wärmefluss in einem Feststoff oder einem ruhenden Fluid infolge eines Temperaturunterschiedes verstanden. Wärme fließt dabei – gemäß dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik – immer nur in Richtung der geringeren Temperatur. Es gilt der Energieerhaltungssatz. Die durch Wärmeleitung übertragene Wärmeleistung in der Einheit Watt (W) wird durch das Fouriersche… Read More »

Einblicke in die Wolfram Language

Die Wolfram Language ist eine wissensbasierte symbolische Programmiersprache, welche die neusten Computer- und Webtechnologien in sich vereint. Die Wolfram Language ist aus Mathematica entstanden und sentwickelt für eine neue Generation von Programmierern. Sie besitzt eine Fülle an Funktionen, Algorithmen, Wissensdatenbanken und Verbindungsoptionen sowie Verteilungsmöglichkeiten, die es sonst in keinem Programmiersystem gibt – alles in einem… Read More »

Collatz Vermutung

Das mathematische Problem ist nach dem Deutschen Lothar Collatz benannt, der es im Jahr 1937 erstmals aufgestellt hat. Gegeben sei eine beliebige positive natürliche Zahl. Ist diese Zahl gerade, dann wird sie durch 2 geteilt. Ist sie ungerade, dann multipliziert man sie mit 3 und addiert 1. Mathematisch formuliert: Mit dem Ergebnis dieser Rechnung wird genau nach diesem Schema… Read More »

Äquivalenzrelationen

Unter einer Äquivalenzrelation versteht man in der Mathematik eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Äquivalenzrelationen sind für die Logik und die Mathematik von großer Bedeutung. Eine Äquivalenzrelation teilt eine Menge restlos in disjunkte (elementfremde) Untermengen auf, die als Äquivalenzklassen bezeichnet werden. Definition: Äquivalenzrelation Eine Äquivalenzrelation ist eine homogene, binäre Relation auf einer Grundmenge, die… Read More »

Sensor Daten Aufbereitung mit gleitenden und gewichteten Mittelwerten

Mittelwert und gewichteter Mittelwert Der Mittelwert beschreibt den statistischen Durchschnittswert und zählt zu den Lageparametern in der Statistik. Für den Mittelwert addiert man alle Werte eines Datensatzes und teilt die Summe durch die Anzahl aller Werte.     Lässt man die einzelnen Werte einer Stichprobe unterschiedlich stark in die Berechnung des Mittelwertes einfließen, so spricht… Read More »

Winkel in Grad und Radiant

Ein Winkel wird durch zwei Halbgeraden (Strahlen) festgelegt, die von dem gleichen Punkt aus starten. Dieser Punkt heisst Scheitelpunkt oder kurz Scheitel des Winkels und die beiden Halbgeraden nennt man die Schenkel des Winkels. Das Winkelmaß dient zur Angabe der Winkelweite eines ebenen Winkels. Im Gradmaß wird der Vollwinkel in 360 gleich große Teile unterteilt.… Read More »

Historische Taschenrechner

Sammlung historischer Taschenrechner Taschenrechner von Texas Instruments TI-57 Der TI-57 wurde am 24. Mai 1977 von Texas Instruments zeitgleich mit den beiden deutlich leistungsfähigeren Taschenrechnern TI-58 und TI-59 vorgestellt. Diese  Modelle waren im Vergleich zum baugleichen TI-45 jedoch programmierbar. Die Programmierung der TI-Rechner geschieht einfach durch Drücken der gewünschten Tastenfunktionen im LRN-Modus. Beim Ausführen des Programms (Start… Read More »

Die Eulersche Zahl e

Die Eulersche »Zahl e« ist eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik. Alles was wächst oder zerfällt, sich entwickelt und wird, hat irgendwie mit dieser Zahl zu tun. Die »Zahl e« hatte ihren Ursprung wohl auf dem Schreibtisch eines Bankiers, der sich mit Frage beschäftigt hat, ob es denn dem Anleger gegenüber fair ist, dass… Read More »

Nabla Operator

Der Nabla-Operator ∇ ist ein vektorieller Differentialoperator. Das bedeutet nichts anderes, als daß er in Vektorform geschrieben werden kann und bei Anwendung auf eine Funktion eine Differential-„Operation“ durchführt. Mit seiner Hilfe lassen sich Gradient, Divergenz und Rotation sehr einfach formulieren. Der Nabla-Operator angewandt auf das Skalarfeld  ergibt den Gradienten des Skalarfeldes Das Ergebnis ist ein Vektorfeld. Hierbei sind  die… Read More »

Schaltjahr Berechnung

Datums-Arithmetik Ein Jahr ist definiert als die Zeit, die die Erde für eine Umrundung der Sonne braucht. Ein Umlauf dauert genau 365 Tage, 5 Stunden, 48 Minuten und 45,252 Sekunden, also etwa um ¼ Tag länger als unser Kalenderjahr. Um diesen Unterschied auszugleichen wird alle 4 Jahre ein Schalttag, der 29. Februar, eingeschaltet. Damit die… Read More »

Halbwertszeit

Die Halbwertszeit ist die Zeitspanne, nach der eine mit der Zeit abnehmende Größe die Hälfte des anfänglichen Werts erreicht. Hierbei gilt immer:  wenn es sich um eine relative und konstante Änderungsrate handelt, entsteht eine e-Funktion. Liegt dagegen eine absolute Änderung vor, so ergibt sich eine lineare Funktion. Beispielsweise: Hebt man von einem Konto monatlich 100… Read More »

Vektor-Analysis

Vektoranalysis Skalarfelder Ein Skalarfeld ist eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes eine reelle Zahl (ein Skalar) in eindeutiger Weise zuordnet. Skalarfelder sind in den Naturwissenschaften von großer Bedeutung, da sehr viele Phänomene damit elegant beschrieben und damit untersucht werden können. Ein Beispiel eines Skalarfeldes ist die Temperaturverteilung in einem Raum. Jedem Punkt P im Raum… Read More »

Theorie der Schwingkreise

Die van der Pol’sche Gleichung Die Van der Pol’sche Gleichung ist ein Modell eines elektrischen Schaltkreises, der in Radios mit Vakuumröhren vorkam. In einer im Jahre 1927 veröffentlichten Arbeit über nichtlineare Schwingungen am Triodengitter ist die heute noch nach ihm benannte nichtlineare Differentialgleichung zum ersten Male angegeben. In dem Artikel gelang es van der Pol,… Read More »

Näherungsverfahren von Newton

Das Newton Verfahren ist ein Standardverfahren zur numerischen Lösung von nichtlinearen Gleichungen und Gleichungssystemen (Nullstellen Bestimmung). Die grundlegende Idee dieses Verfahrens ist, die Funktion in einem Ausgangspunkt zu linearisieren, d. h. ihre Tangente zu bestimmen, und die Nullstelle der Tangente als verbesserte Näherung der Nullstelle der Funktion zu verwenden. Die erhaltene Näherung dient als Ausgangspunkt… Read More »