Die Eulersche Zahl e

By | 29. Januar 2017

Die Eulersche »Zahl e« ist eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik. Alles was wächst oder zerfällt, sich entwickelt und wird, hat irgendwie mit dieser Zahl zu tun. Die »Zahl e« hatte ihren Ursprung wohl auf dem Schreibtisch eines Bankiers, der sich mit Frage beschäftigt hat, ob es denn dem Anleger gegenüber fair ist, dass man den zu verzinsenden Zins das ganze Jahr über unter Verschluss hält und ihn erst am Ende des Jahres auf das Konto gutschreibt.

Er ging dieser Frage mit folgenden Überlegungen nach: Man stellt sich vor, dass eine Bank 100 Prozent Zinsen gibt, wobei jährlich abgerechnet wird. Nach einem Jahr werden dann aus einem Euro folglich zwei Euro.

    \[a_0 = 1\]

    \[a_1 = (1+1) = 2\]

Würde man den Zins nicht jährlich sondern alle 6 Monate ausbezahlen, würde sich folgende Verzinsung ergeben:

    \[a_2 = (1 + \frac{1}{2})* (1 + \frac{1}{2}) = (1 + \frac{1}{2})^2 = 2,25\]

Teilt man das Jahr in n-gleiche Teile auf, so berechnet sich das Kapital nach folgender Gleichung:

    \[a_n = (1 + \frac{1}{n})^n\]

Dabei stellte sich nun natürlich die Frage, ob auf diese Weise ein beliebig hoher Zinsertrag erwirtschaftet werden kann. Überraschenderweise wurde aber festgestellt, dass die Zahlenfolge (1 + \frac{1}{n})^n sich einem Grenzwert nähert, nähmlich genau der Zahl

    \[2.71828182845904...\]

Diese Zahl wird zu Ehren des schweizer Mathematikers Leonhard Euler als die Eulersche Zahl bezeichnet.

Die Zahl e ist mathematisch formuliert also nichts anderes als der Grenzwert der Folge

    \[a(n)=(1+\frac{1}{n})^n\]

wenn n gegen Unendlich strebt.

Die aussergewöhnliche Bedeutung dieser Zahl wurde aber anderen Gebiet, das seinen Ursprung im ausgehenden 17. Jahrhundert hatte, und die Mathematik revolutionieren sollte deutleuch: in der Differenzialrechnung. Die Differenzialrechnung erlaubt die Beschreibung von Größen in der Physik und die der Veränderungen, denen diese Größen unterliegen. Betrachtet man beispielsweise die Veränderung eines Weges, so erhält man die Geschwindigkeit mit der man diese Strecke passiert hat. Und wenn man wiederum die Änderung der Geschwindigkeit betrachtet, so erhält man die Beschleunigung.

Es gibt in der Physik viele derartige Beispiele, wo eine Größe und ihre Änderung direkt verknüpft sind. Die bekanntesten sind der radioaktive Zerfall (je mehr strahlendes Material, desto mehr zerfällt auch, das heißt, desto rascher ändert sich die Menge) und die Bevölkerungsentwicklung (je mehr Menschen, desto schneller wächst ihre Anzahl). Alle diese Phänomene, bei denen die Menge eng an ihre Veränderung gekoppelt ist, werden durch Exponentialgleichungen beschrieben, und die Mutter aller Exponentialgleichungen ist die e- Funktion e^x. Sie ist mathematisch ausgedrückt, die einzige Funktion, die mit ihrer Ableitung übereinstimmt.

Und das ist der Grund, weshalb einem das Eulersche e bei fast jedem physikalischen Problem entgegenspringt: e- Funktionen bilden Grundlösungen für die mathematische Beschreibung aller möglichen natürlichen Vorgänge. Alles, was irgendwie wächst, schwingt, sich aufschaukelt oder sonstwie auf sich selbst zurückwirkt, ist ein Fall für e^x.

Der Schweizer Leonhard Euler (1707 bis 1783) war ein mathematischer Gigant, vielen gilt er als der größte Mathematiker aller Zeiten – ein Autor nennt ihn den »Mozart der Mathematik«. Insofern ist es nachvollziehbar, dass e gerade seinen Namen trägt. Euler hat die Zahl aber nicht  entdeckt, auch war er nicht der Einzige, der ihre Bedeutung erkannt hat. Unstrittig ist einzig, dass ihr Name auf Euler zurückgeht, wie übrigens auch das i für die imaginäre Einheit oder das griechische Σ für die Bezeichnung einer Summe.

Euler hat aber wohl die Bedeutung dieser Zahl sehr genau gekannt. Er hat mit der Zahl die wohl berühmteste und schönste mathematische Gleichung schlechthin aufgestellt:

    \[ e^{i\pi} +1 = 0\]

Sie verbindet auf denkbar einfachste Art die fünf wichtigsten Konstanten der Mathematik: die drei Zahlen 0, 1 und i dazu \pi und e ebenso wie die drei wichtigsten mathematischen Operationen: die Addition, die Multiplikation und das Potenzieren.

Und alles das fügt Euler in seiner Formel mit einem schlichten Gleichheitszeichen zusammen. Beim Betrachten dieser Formel und bei der Bedeutung die diese Zahlen für unser Weltverständnis haben, erinnert man sich an den Satz  des großen griechischen Philosophen Aristoteles:

                      Die Mathematik ist die Sprache, mit der Gott die Welt erfunden hat

Betrachtet man sich nun speziell die komplexen Zahlen. Die komplexen Zahlen stellen eine Erweiterung des reellen Zahlbegriffs dar. Komplexe Zahlen sind Zahlen der Form:

    \[z = x + i \cdot y\]

wobei x und y reelle Zahlen sind und der Imaginär-Teil i  immer der Gleichung i^2 = -1 genügt.

Komplexe Zahlen spielen in der Physik und Technik eine wichtige Rolle, da sich viele Vorgänge damit vereinfachen lassen. Dabei ist von besonderer Bedeutung, dass eine tiefe Verwandtschaft zwischen der Exponentialfunktion und den Winkelfunktionen zu Tage tritt, die mit der Eulerschen Identität in Zusammenhang steht.

    \[ e^{i \alpha}  = cos(\alpha) + i\cdot sin(\alpha)\]

ersetzt man nun den Winkel \alpha durch den Wert \pi so ergibt sich:

    \[ e^{i\pi} = cos(\pi) + i\cdot sin(\pi) = -1 +i \cdot 0 \]

Umgeformt ergibt das genau die Eulersche Identität:

    \[ e^{i\pi} +1 = 0\]

Womit wiederum ein weiteres mathematisches Prinzip unseres Universums erkennbar wird: Unser Universum ist in vielfacher Hinsicht mathematisch harmonisch aufgebaut, d.h. jeder funktionale Zusammenhang läßt sich durch Überlagerung von einzelnen Funktionstermen erzeugen. Damit steht alles mit allem in Zusammenhang. Ein endlos geflochtenes Band.