Die Legendre Transformation

By | 16. September 2017

Die Legendre-Transformation ist eine Berührungstransformation, mit dem Ziel die Abhängigkeit einer Funktion f(x) von der Variablen x durch eine Transformation der Variablen x in eine andere Variable u zu verändern.

Beispielsweise kommen in der Physik oft Funktionen vor, die von Variablen abhängig sind, deren Wert nicht direkt bestimmt werden kann. In diesen Fällen kann es zweckmässig sein, diese Funktionen in Abhängigkeit ihrer eigenen Ableitung zu formulieren. Genau das macht die Legendre-Transformation.

Die Legendre-Transformation überführt dabei die Funktion f(x) in eine Funktion g(u) mit der unabhängigen Variable u, die die Ableitung der Funktion nach x ist.

Wird also u:={\frac {\partial f}{\partial x}} gesetzt, so soll die gesuchte Funktion g(u) die Gleichung

    \[x(u)= {\frac {\partial g}{\partial u}}(u)}\]

erfüllen.

Man stellt fest, dass diese Gleichung von der Funktion

    \[g(u) = f(x(u))-x(u)\]

gelöst wird. Diese Funktion g(u) heißt Legendre-Transformation von f(x).

Handelt es sich bei der zu transformierenden Funktion um eine Funktion mehrere Variablen, dann lassen sich folgende Transformationen bilden:

    \[f(x,y) \quad mit  \quad u= \frac {\partial f}{\partial x}} \quad und \quad v= \frac {\partial f}{\partial y}}\]

folgt dann

    \[g(u,y) = f(x(u),y)-ux(u)\]

    \[g(x,v) = f(x,y(y))-vy(v)\]

    \[g(u,v) = f(x(u),y(v))-ux(u)-vy(v)\]

Beispiel

    \[f(x)=e^{(x-1)}\]

    \[u:={\frac {\partial e^{(x-1)}}{\partial x}}=e^{(x-1)}\]

    \[ln (e^{(x-1)})=ln (u)\]

    \[x-1 = ln(u)\]

    \[x = ln(u) +1\]

    \[g(u) = f(x) - u\cdot x\]

    \[g(u) = u - u\cdot ln(u+1) = -u \cdot ln(u)\]

Das heisst, die Funktion g(u)=-u \cdot ln(u) ist die Legendre-transformierte von f(x)=e^{(x-1)}. In diesem Beispiel erkennt man nur den Mechanismus, die Schönheit dieses Transformations-Ansatzes zeigt sich beispielsweise in der Thermodynamik, wo man Größen bestimmen möchte, deren Werte man nicht direkt messen kann.