Drehungen

By | 11. März 2018

In der Mathematik versteht man unter einer Drehung eine spezielle Abbildung um einen Fixpunkt, der alle Abstände gleich (invarianz) lässt.

Es geht also mit anderen Worten darum, einen Punkt um einen Feinen bestimmten Winkel ∂ um einen Fixpunkt (z.B. den Ursprung) zu drehen.

Mathematisch kann das beispielsweise über Matrizen und Vektor-Operationenbeschrieben werden. Hierzu wird im R2 folgendes Grund-Muster verwendet:

Die Matrix die diese Transformation vornimmt wird auch als Transformationsmatrix bezeichnet und hat im zweidimensionalen Raum folgende Form:

a) Für Rotationen im Uhrzeigersinn:

b) Für Rotationen gegen den Uhrzeigersinn:

D.h. jeder beliebige Ortsvektor der mit der oben beschrieben Transformationsmatrix multipliziert wird, wird dadurch um den Ursprung (0,0) gedreht. Etwas formaler formuliert bedeutet das für eine Drehung im Uhrzeigersinn:

    \[x^{´}= x \cdot cos(\Theta) + y\cdot sin(\Theta)\]

    \[y^{´}= -x \cdot sin(\Theta)  + y\cdot cos(\Theta)\]

Für den Punkt B im obigen Beispiel würde sich der Punkt B´ wie folgt berechnen lassen:

Der Drehwinkel beträgt -90° oder -Pi/2 also gegen den Uhrzeigersinn:

 

In der komplexen Zahlenebene bietet sich eine weitere Möglichkeit Drehungen zu beschreiben. Hier lautet das Muster der Drehung wie folgt:

Hier wird die Regel der Multiplikation komplexer Zahlen ausgenutzt. Zwei komplexe Zahlen Z1 und Z2 werden ja dadurch multipliziert, in dem ihre Winkel addiert und ihre Längen multipliziert werden.

D.h. die Berechnung in der komplexen Zahlen-Ebene würde im obigen Beispiel bedeuten, dass wir den Punkt B als komplexe Zahl interpretieren und B´ wie folgt berechnen würden:

Eine gute Übersicht über die verschiedenen Transformationsarten und mit welchen Matrizen diese bestimmt werden können, gibt folgende Graphik wieder:

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