Ganzrationale- und Gebrochenrationale Funktionen

By | 14. April 2020

Diese Art von Funktionen spielen in der Natur- und Ingenieurwissenschaft eine große Rolle. Aus diesem Grund ist es wichtig, zu verstehen, wie diese aufgebaut sind und wie man bestimmte Eigenschaften dieser Funktionen bestimmen kann.

Definition: Ganzrationale Funktion 

Unter eine ganzrationalen Funktion versteht man eine Funktion vom Typ

Ganzrationale Funktion Definition

So eine Funktion wird auch Polynomfunktion genannt. Den Grad der Funktion kann man am höchsten Exponent “n” ablesen. Außerdem kann man bei einer solchen Funktion noch die Koeffizienten ablesen: Dazu liest man a0, a1, a2, … an ab. Noch ein Hinweis: an ≠ 0.

 

Definition: Gebrochenrationale Funktion 

Eine gebrochenrationale Funktion sieht ähnlich aus wie eine tanzrationale Funktion nur das diese Art Funktionen einen Bruch aufweist und in allgemeiner Schreibweise so aussieht:

Gebrochenrationale Funktion Definition

An folgendem Beispiel soll gezeigt werden welche Eigenschaften dabei von besonderem Interesse sind und wie diese bestimmt werden können.

Gegeben sei folgende Gleichung:

    \[y= \frac{(x-1)(x+5)}{(x+1)^2(x-3)}\]

.

Es sollen nun folgende Eigenschaften bestimmt werden:

  • Definitionslücken bzw. der Definitionsbereich
  • Nullstellen
  • Extrema
  • Pole
  • Asymptoten
  • Schnittpunkte mit der y-Achse

Bestimmung der Definitionslücken

Die Definitionslücken ergeben sich an den Stellen wo der Nenner gleich  Null wird. Also eine mathematisch nicht zulässige Operation entstehen würde. Daher bestimmt man einfach die Nullstellen der Nenner-Funktion (x+1)^2(x-3) und bekommt Nullstellen bei x_1=-1 und x_2=3 heraus. Die Funktion ist also über die ganzen rationalen Zahlen ohne die Werte x_1=-1 und x_2=3 definiert.

Bestimmung der Nullstellen

Dazu wird die Funktion f(x)=0 gesetzt. Das bedeute in diesem Fakt dass wir nur die Zählerfunktion betrachten müssen. Da diese aus zwei linearen Termen besteht, können die Nullstellen direkt abgelesen werden. Dies liegen bei x_3=-5 und x_4=1.

Mit einem Computer-Algebra-System wie Mathematica können die Nullstellen wie folgt berechnet werden:

Für diejenigen die diese Software nicht zur Verfügung haben, gibt es eine frei zugängliche Version in Form von WolframAlpha. Auf dieser Webseite können die Funktionen der Wolframlanguage einfach eingegeben werden. Hier ein Beispiel:

Bestimmung der Polstellen

Pole findet man an den Stellen wo der Nenner = 0 ist und der Zähler ≠ 0
Da man die Definitionslücken schon bestimmt hat, sind das auch die Polstellen bei x_1=-1 und x_2=3. Die Pol-Geraden (senkrechte Asymptoten) liegen somit bei x=-1 und bei x=3.

Verhalten im Unendlichen = Bestimmung der Asymptoten

Dazu untersucht man das Verhalten der Funktion im Unendlichen also lim für x->±∞. D es sich hier u eine echt gebrochene Funktion handelt d.h. Zähler ist 2. Grades und der Nenner vom Grad 3, nähert sie sich im Unendlichen der x-Achse, d.h. y=0.

Auch dies kann mit Mathematica wieder berechnet werden durch folgende Funktion:

Bestimmung der Schnittpunkte mit der y-Achse

Dazu muss man einfach f[0] berechnen, also die Stelle wo der Graph die y-Achse schneidet und die Y-Achse liegt bei x=0, daher gilt f(0)=\frac{3}{5}

Graph der Funktion

Hierzu muss eine Wertetabelle erstellt werden, beispielsweise von x=-5 bis x=+5 und berechnet dann die entsprechenden Funktionswerte. Damit kann dann die Funktion in einem Koordinatensystem entsprechend skizziert werden. Eventuell kann muss man  den Wertebereich kleiner oder auch größer machen. Mit Mathematica geht das recht einfach… man schreibt

Hier erkennt man dann sehr anschaulich wo die Nullstellen, die Polstellen sind und das sich die Funktion im Unendlichen der x-Achse annähert.

Anwendungen in der Ingeneiuerswissenschaft

Eingangs hatte ich schon erwähnt, dass diese Art Funktionen in der Ingenieurspraxis eine bestimmte Relevanz hat. Daher nun ein etwas anspruchsvolleres Beispiel das dies verdeutlichen soll. Das Beispiel ist dem Buch Mathematik für Ingenieure  von Prof. Lothar Paula aus dem Vieweg-Teubner Verlag entnommen, das sehr empfohlen werden kann.

Es soll die Biegelinie eines Trägers ermittelt werden.

Ein Träger ist fest in Punkt A eingespannt und ist in Punkt B gleitend gelagert. Der Träger wird mit einer konstanten Streckenlast belastet. Die Biegelinie lässt sich durch eine Polynom-Funktion 4. Grades annäherungsweise beschreiben.

Wobei l die Länge des Trägers, E I die Biegesteifigkeit des Trägers und y(x)  die Durchbiegung an der Stelle x beschreibt.

    \[y(x)= \frac{ql^3}{48 E I}\cdot (1-3(\frac{x}{l})^2 +2(\frac{x}{l})^3)\]

Man möchte nun gerne wissen, an welchen Stellen die größte Durchbiegung statt findet und wo die minimale Durchbildung vorliegt. Darüber hinaus können noch weiter Eigenschaften bestimmt werden, die aber den Rahmen dieses Beispiels sprengen würden.

Die Berechnung der Nullstellen mit Hilfe von Mathematica:

Aus der Ergebnisliste lässt sich folgendes ableiten: Wir haben eine Nullstelle in Punkt A, also bei x=0 wo der Träger fest eingespannt ist, ebenso bei Punkt B (x=l), der Wert x=-l/2 hat keine physikalische Bedeutung, da er ausserhalb des Trägers liegen würde. D.h. ausser an den Randpunkten des Trägers gibt es keine weiteren Nullstellen oder anders formuliert, überall zwischen Punkt A und B biegt sich der Träger durch.

Maximale Durchbiegung

Die maximale Durchbiegung findet man in dem man die Extremwerte bestimmt.

Somit liegt der Wert der größten Durchbiegung  bei x=\frac{1}{16}(l+\sqrt{33}l).