Halbwertszeit

By | 26. April 2016

Die Halbwertszeit \tau_{\frac{1}{2}} ist die Zeitspanne, nach der eine mit der Zeit abnehmende Größe die Hälfte des anfänglichen Werts erreicht.

Hierbei gilt immer:  wenn es sich um eine relative und konstante Änderungsrate handelt, entsteht eine e-Funktion. Liegt dagegen eine absolute Änderung vor, so ergibt sich eine lineare Funktion.

Beispielsweise: Hebt man von einem Konto monatlich 100 Euro ab, so wird sich die Abnahme-Funktion als lineare Funktion beschreiben lassen. Muss man dagegen monatlich 2% Zins bezahlen, so ergibt sich eine exponentielle Abnahme-Funktion.

Im Spezialfall exponentiell abnehmender Werte ist die Halbwertszeit eine Konstante, die weder von der Anfangsmenge noch von der bereits verstrichenen Zeit abhängt und daher den jeweiligen Vorgang selbst charakterisiert. Beispielsweise bei einer gedämpften Schwingung, oder dem radioaktiven Zerfall.

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Mathematisch lässt sich das wie folgt beschreiben:

    \[ y(t) = A \cdot e^{-\beta \cdot t} \]

wobei A die Anfangsgröße und \beta die Abklingkonstante beschreibt.

 

Setzt man nun für die Zeit t den Ausdruck für die Halbwertszeit \tau_{\frac{1}{2}} ein, so ergibt sich:

    \[ y(\tau_{\frac{1}{2}}) = A \cdot e^{-\beta \cdot \tau_{\frac{1}{2}}} = \frac{A}{2}\]

    \[ e^{-\beta \cdot \tau_{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \]

    \[ -\beta \cdot \tau_{\frac{1}{2}} = ln{\frac{1}{2}} = - ln{2}\]

    \[ \tau_{\frac{1}{2}}} = \frac{ln 2}{\beta} \]

Somit ergibt sich der Zusammenhang zwischen Halbwertszeit \tau_{\frac{1}{2}} und Abklingkonstante \beta. Alle übrigen Größen spielen für die Berechnung der Halbwertszeit keine Rolle.