Interessante Formeln

Von | 20. Dezember 2018

In den Programmierhandbüchern der frühen Jahre, wo programmierbare Taschenrechner wie der TI59 zu den Superstars gehörten, finden sich einige interessante Formeln. Diese haben heute natürlich ihren praktischen Wert verloren und begeistern nur noch wenige Liebhaber klassischer Computer.

Handbuch des TI59, © Texas Instruments 1979

Ich möchte für diese Freunde klassischer Taschenrechner und Computer einige dieser Formeln vorstellen.

Zinseszins Rechnung

In den Anleitungen der verschiedenen programmierbaren Taschenrechner von HP und von TI spielen die Berechnung von Kapitalerträgen eine große Rolle. Interessant ist das hier nicht nur eine Formel hingeschrieben wurde, sondern man bemüht war, die Zusammenhänge auch in Prosa zu formulieren. Wie folgendes Beispiel belegt:

Das Endkapital ist gleich dem Anfangskapital, das mit dem Wert multipliziert wird, der sich aus eins plus dem Einsatz, potenziert mit der Anzahl der Verzinsung-Jahre ergibt.

 

Dies lässt sich natürlich mathematisch etwas anschaulicher formulieren:

    \[K_E = K_A*(1+(\frac{i}{100\cdot c}))^{c \cdot n}\]

Wobei diese Formel auch die unterschiedlichen Verzinsungsperioden berücksichtigt. Die verwendeten Variablen sind dabei:

  • K_E = künftiger Wert der Einlage
  • K_A = Anfangskapital
  • i = jährliche Zinssatz in %
  • c = Anzahl der Verzinsungsperioden pro Jahr
  • n = Anzahl der Jahre (gesamte Verzinsungszeit)

Daraus wurde dann ein Programm entwickelt, dass im wesentlichen aus einer Folge von Tastendrücken bestand.

Programmbeispiel aus dem Handbuches TI 59, © Texas Instruments 1979

40 Jahre Später…

Heute haben sich die Dinge natürlich viel weiter entwickelt…Moderne Tabellen-Kalkulationsprogramme bieten derartige Funktionen standardmässig an. Aber es gibt auch immer noch die Möglichkeit sich ein eigenes Programm zu diesem Zweck zu schreiben. Unnötig… aber wozu muss alles den immer einen Sinn haben…

Ich habe das Zinseszins Problem zum Spass mit Hilfe von Mathematica programmiert und die Schritte ausführlich dargestellt. Zuerst wurde die Formel als Kapital-Funktion mit 4 Variablen beschrieben. Damit hat man eine neue Funktion, die einfach mit den entsprechenden Parametern aufgerufen wird.

Dies habe ich mit dem Beispiel aus dem Manual von 1979 gemacht. Wie man sieht waren damals 8% Zins noch üblich. Man erkennt auch schön den Unterschied ob monatlich oder täglich verzinst wird.

Anschliessend habe ich eine graphisch-interaktive Eingabemaske erstellt, die es erlaubt sämtliche Parameter zu manipulieren.

 

Newton´sche Näherungs-Verfahren

Die grundlegende Idee dieses Verfahrens ist, die Funktion in einem Ausgangspunkt zu linearisieren, d.h. ihre Tangente zu bestimmen, und die Nullstelle der Tangente als verbesserte Näherung der Nullstelle der Funktion zu verwenden. Die erhaltene Näherung dient als Ausgangspunkt für einen weiteren Verbesserungsschritt. Diese Iteration erfolgt bis die Änderung in der Näherungslösung eine festgesetzte Schranke unterschritten hat. Damit ein ideales Verfahren für einfache Computersysteme der frühen Jahre…

 

Fast alle Taschen-Computer hatten in Ihren Programmier-Anleitungen Beispiele dafür. Im folgenden seien exemplarisch zwei  vorgestellt.

Als erstes die Texas-Instruments Version für einen TI-57 (entnommen aus dem Buch “Programmieren mit dem TI57” aus dem Oldenburg Verlag 1978 bei dem alle Rechte liegen). Man bedenke dabei, dass der Rechner insgesamt nur über 50 Programmierschritte verfügte, und daher das gesamte Verfahren damit programmiert werden musste. Das zugehörige Programm sah dann so aus:

 

Die HP11C Variante stammt aus dem schon damals vorbildlichen Handbuch. In dem das Verfahren ausführlich erklärt und auch die Lösung in UPN (Umgekehrt Polnische Notation) vorgestellt wurde, im Unterschied zum AOS (Algebraischen Operationssystem) des TI.

Das Beispiel stammt wie beschrieben aus dem HP 11C Programmierhandbuch aus dem Jahr 1981. Alle Rechte liegen bei der Firma HP.

Wie immer auch hier ein Beispiel aus der Neuzeit…Mit funktionaler Programmierung in Mathematica sieht die Lösung des Newton Verfahrens so aus:

Nach der Definition der Funktion, für die man die Nullstelle berechnen möchte, bedarf es nur noch eines einzigen Befehls: NestList. NestList setzt ein einmal berechnetes Ergebnis n-mal wieder in sich selbst ein. In diesem Beispiel wurde n=7 gewählt und die Berechnung mit 10-stelliger Genauigkeit durchgeführt.

 

Bio-Rhythmus

Ein in der damaligen Zeit (Anfang der 1980er Jahre) beliebtes Thema für Computer-Programme war der Bio-Rhythmus. Nach der Theorie gibt es im Leben eines Menschen, drei Zyklen, die seit dem Tage der Geburt begannen und immer wiederkehren.

  • Der physische Zyklus mit einer Periode von 23 Tagen
  • Der emotionale Zyklus mit einer Periode von 28 Tagen
  • der geistige Zyklus mit einer Periode von 33 Tagen

Die Theorie der Bio-Thytmen besagt, dass in der ersten Hälfte der jeweiligen Zyklen immer die guten Tage liegen, während die schlechten Tage vermehrt in die zweiten Hälften fallen.

Mit der folgenden Gleichung – lässt sich so die Meinung der Erfinder – ein Schaubild dieser Zyklen bestimmen.

Amplitude = SIN [ 360 * (Anzahl der Tage seit Geburt / Anzahl der Tage im Zyklus)]