Logistische Gleichung

By | 7. Januar 2018

Die logistische Gleichung ist eine gewöhnliche, nichtlineare Differentialgleichung mit deren Hilfe das Wachstums einer Population beschrieben werden kann. Die Gleichung basiert auf folgenden Überlegungen:

Ausgangsgröße ist eine bestimmte Population x. Jedes Mitglied dieser Population vermehrt sich mit einer bestimmten Wachstumsrate k, dann berechnet sich die Folge-Population x_{n+1} über folgende Beziehung:

    \[ x_{n+1} = k \cdot x_n\]

Um nun die Anzahl der Population nach 3 Jahren zu berechnen, macht man folgenden Ansatz:

    \[x_1 = k\cdot x_0\]

    \[x_2 = k\cdot k \cdot x_1\]

    \[x_3 = k\cdot k \cdot k \cdot x_2\]

Kennt man die Wachstumsrate k und die Anfangspopulation x0, kann man hier xn natürlich auch einfacher berechnen, ohne die Formel n-mal durchlaufen zu müssen:

    \[x_{n+1} = k^n\cdot  x_n\]

Diese Formel gibt das exponentielle Wachstum wieder, wie es tatsächlich in der Natur (oder besser im Labor) stattfindet, jedoch nur solange keine Feinde sowie Nahrung und Lebensraum im Überfluß vorhanden sind. Ansonsten wird das Wachstum im Ökosystem durch dichtebegrenzende Faktoren (Nahrungsangebot, Gedrängefaktor, Revierbildung, Räuber usw.) beschränkt, so dass ein natürlicher Schwellenwert, die sogenannte Umweltkapazität, nicht überschritten wird.

Es fehlt ein “Bremsfaktor”. Beispielsweise das Nahrungsangebot als wachstumsbegrenzenden Faktor. Nähert sich xn dem Schwellenwert 1, so tritt Nahrungsmangel auf. Das Ökosystem ist an seine Belastbarkeitsgrenze gelangt und schafft es nicht mehr, die angewachsene Population zu ernähren. Die Sterberate nimmt folglich zu. Dies gilt auch für andere dichtebegrenzenden Faktoren, wie die Räuber Beute Beziehung.

Der belgische Mathematiker Pièrre François Verhulst benutzte 1845 folgenden genial einfachen Trick, um einen regulierenden “Bremsfaktor” oder auch Rückkopplungsfaktor einzuführen. Er führte eine Proportionalitätskonstante r ein und setze:

    \[k = r \cdot (1-x_n)\]

Dadurch erhält man die logistische Gleichung:

    \[ x_{n+1} = r \cdor (1-x_n)\cdot x_n\]

Diese Formel beinhaltet nun einen selbstregelnden Rückkopplungsmechanismus.  Bei sehr kleiner Population ist der Faktor nahezu 1, sodass die logistische Gleichung ungefähr exponentielles Wachstum darstellt. Bei Populationsgrößen an der Grenze zur Umweltkapazität ist der Faktor (1-xn) nahezu 0, woraus eine rasche Dezimierung der Population resultiert.

Die Faktorenx_n und (1-x_n) konkurrieren miteinander. Der Parameter r kann als art- und systemspezifische Fruchtbarkeitsrate interpretiert werden. Je größer der Faktor r desto schneller reagiert eine Population auf ein Überangebot an Ressourcen durch ansteigende Wachstumsraten.

Natürlich kann man damit die komplexen Abläufe in einem Ökosystem nur annähernd beschreiben, aber mit Hilfe dieser Formel und einer einfachen Tabellenkalkulation lassen sich interessante Zusammenhänge studieren.

Die Tabelle ist recht simpel aufgebaut: In Spalte A findet man die n-Iterationsschritte. Spalte B beinhaltet die eigentliche Iterations-Berechnung in dem der vorherige Wert mit dem Faktor k den aktuellen Wert bestimmt. Den Faktor k, manipuliert man praktischerweise von Hand. So entstehen  folgende Berechnungen:

Man erkennt folgende Zusammenhänge:

Wenn der Wert r zwischen 0 und  1 liegt…

Ist die Population zum Aussterben verurteilt. Dabei ist es völlig egal, mit welcher Anfangspopulation man ins Rennen geht. Nach einigen Jahren strebt die Population stets gegen 0. Die Null zieht die Folgenglieder an sich, sie ist ein Attraktor.

Wenn der Wert r zwischen 1 und  3 liegt…

Die Gefahr des Aussterbens ist gebannt. Es tritt eine Stabilisierung ein. Aber nahe dem Wert 3 beginnt das Ganze schon dynamische Züge anzunehmen… Das Chaos kündigt sich an…

Wenn der Wert r zwischen 3 und  4 liegt…

Das System ist im Chaos… Die Werte springen unkontrolliert hin und her.