Nabla Operator

By | 25. November 2016

Der Nabla-Operator ∇ ist ein vektorieller Differentialoperator. Das bedeutet nichts anderes, als daß er in Vektorform geschrieben werden kann und bei Anwendung auf eine Funktion eine Differential-„Operation“ durchführt. Mit seiner Hilfe lassen sich Gradient, Divergenz und Rotation sehr einfach formulieren.

Der Nabla-Operator angewandt auf das Skalarfeld f ergibt den Gradienten des Skalarfeldes

{\displaystyle \operatorname {grad} f={\vec {\nabla }}f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)^{\top }={\frac {\partial f}{\partial x}}{\vec {e}}_{x}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\vec {e}}_{y}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\vec {e}}_{z}\,.}

Das Ergebnis ist ein Vektorfeld. Hierbei sind {\displaystyle {\vec {e}}_{x},\,{\vec {e}}_{y},\,{\vec {e}}_{z}} die Einheitsvektoren  des \mathbb {R} ^{3}.

Der Nabla-Operator macht somit aus einem Skalar einen Vektor oder aus einem Skalarfeld ein Vektorfeld. Der Vektor wird wie oben beschrieben als Gradient bezeichnet. Er gibt an, wie stark sich ein Skalarfeld an einer Stelle ändert und zeigt in die Richtung der grössten Änderung.

Der Nabla-Operator macht über das Skalarprodukt verknüpft aus dem Vektor v einen Skalar. Dieser Skalar wird Divergenz (div) des Vektors genannt.