Theorie der Schwingkreise

By | 30. März 2016

Die van der Pol’sche Gleichung

Die Van der Pol’sche Gleichung ist ein Modell eines elektrischen Schaltkreises, der in Radios mit Vakuumröhren vorkam. In einer im Jahre 1927 veröffentlichten Arbeit über nichtlineare Schwingungen am Triodengitter ist die heute noch nach ihm benannte nichtlineare Differentialgleichung zum ersten Male angegeben. In dem Artikel gelang es van der Pol, erstmals periodische Oszillationen der Stromstärke im Schaltkreis formal zu beschreiben. Die nach ihm benannte Gleichung ist eine DGL 2. Ordnung und hat folgende Form:

    \[m \cdot x'' + r \cdot x' + k \cdot x = 0 \]

Später erkannte man, dass der Van – der – Pol Oszillator die Grundlage für sämtliche selbserregenden nichtlinearen Schwingkreise darstellt. Eine gebräuchliche Deutung ergibt sich wenn man die Gleichung so umstellt, dass der Term mit der 2. Ableitung auf der linken Seite steht:

    \[ m \cdot x'' = - r \cdot x' - k \cdot x \]

Masse mal 2. Ableitung einer Bewegung ergibt die Kraft in diesem Fall die gesamte Kraft die den Oszillator zum schwingen bringt. Dieser wirken die Federkraft und die Dämpfung entgegen.

Als Lösungsansatz einer homogenen DGL bietet sich an x(t) = e ^{\lambda \cdot t} zu verwenden. Dies wird dann in die Ausgangsgleichung eingesetzt und ergibt:

    \[ m \cdot \lambda ^2 \cdote e^{\lambda \cdot t} + r \cdot \lambda \cdote e^{\lambda \cdot t} + k \cdot e^{\lambda \cdot t} = 0 \]

Diese Gleichung durch e ^{\lambda \cdot t} geteilt und dann normalisiert (d.h. durch die Masse m geteilt) führt zur charakteristischen Gleichung:

    \[ \lambda ^2 + \frac{r}{m} \cdot \lambda + \frac{k}{m} = 0 \]

Die so entstandene quadratische Gleichung kann nach der Mitternachtsformel gelöst werden:

    \[ \lambda_{1,2}= -\frac{r}{2m} \pm \sqrt{(\frac{r^2}{4m^2})-\frac{k}{m}} \]

Entsprechend des Lösungsraums gibt es drei Fälle zu unterscheiden:

Fall 1: (\frac{r^2}{4m^2})-\frac{k}{m} > 0, gedämpfte Schwingung

Fall 2: (\frac{r^2}{4m^2})-\frac{k}{m} = 0, harmonische Schwingung

Fall 3: (\frac{r^2}{4m^2})-\frac{k}{m} < 0, komplexe Lösungen

Mit diesem Wissen bauen wir die ursprüngliche Glechung um: Die Masse wird auf 1 gesetzt und die Federkonstante entfällt. Somit entsteht eine neue Differentialgleichung:

    \[ x'' + r \cdot x' + x = 0 \]

Anstelle des Faktors r wird nun ein neues Dämpfungsglied eingeführt, mit r(x)= -\epsilon \cdot (1-x^2) ergibt sich dann x'' - \epsilon \cdot (1-x^2) \cdot x' + x = 0

Da es sich nun um eine nichtlineare DGL handelt wegen dem Dämpfungsglied gibt es keine analytische Lösung. Man benötigt daher eine numerische Lösung. Dazu müssen wir ein DGL System 1. Ordnung ableiten. Dies erfolgt durch die Einführung eines Vektors:

    \[ \frac{d }{d t }{x \choose x'} = {x' \choose x''} = {x' \choose\epsilon \cdot (1-x^2)x' - x } \]

In dem man x' durch x und x'' durch y substituiert erhält man folgende Gleichung, die man direkt in Mathematica übertragen kann:

    \[ \frac{d}{d t }{x \choose y} = {y \choose\epsilon \cdot (1-x^2)y - x } \]

Die entsprechenden Berechnungen in Mathematica sind im folgenden dargestellt:

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