Vektor-Analysis

By | 30. März 2016

Vektoranalysis

Skalarfelder

Ein Skalarfeld ist eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes eine reelle Zahl (ein Skalar) in eindeutiger Weise zuordnet. Skalarfelder sind in den Naturwissenschaften von großer Bedeutung, da sehr viele Phänomene damit elegant beschrieben und damit untersucht werden können. Ein Beispiel eines Skalarfeldes ist die Temperaturverteilung in einem Raum. Jedem Punkt P im Raum wird die dort herrschende Temperatur zugewiesen. Oder in der Geographie kann jedem Punkt eines Geländes die Höhe über dem Meeresspiegel zugewiesen werden.
Der Gradient ist ein mathematischer Operator, genauer ein Differentialoperator, der auf ein Skalarfeld angewandt werden kann. Hierdurch erhält man ein Vektorfeld, das die Änderungsrate und die Richtung der größten Änderung des Skalarfeldes angibt.
Interpretiert man beispielsweise die Höhenkarte einer Landschaft als eine Funktion h(x,y), die jedem Ort die Höhe an dieser Stelle zuordnet, dann ist der Gradient von h an einer Stelle (x,y) ein Vektor, der in die Richtung des steilsten Anstieges zeigt, und dessen Länge ein Maß für die Steilheit (Steigung) ist.

Beispiel eines Skalarfeldes

    \[ f(x,y,z) = (x^2+y^2+z^2)\cdot e^{x + y +z} \]

Gesucht ist der Gradient von f, zunächst allgemein in einem Punkt (x, y, z) und anschließend im Punkt (1,-2,1).

Um die partiellen Ableitungen zu bilden, stellt Mathematica eine entsprechende Funktion bereit, damit gestaltet sich die Bestimmung des Gradienten einer Funktion sehr einfach:

Mit dem sogenannten Replace Operator /. erfolgt die Zuweisung von konkreten Zahlenwerte. Somit steht eine allgemeine und eine spezielle Lösung zur Verfügung.

 

Vektorfelder

Ein (räumliches) Vektorfeld ist eine Funktion v = v(x, y, z), die jedem Punkt (x, y, z) des Raumes einen Vektor zuordnet. Als Beispiel kann man sich das Geschwindigkeitsfeld einer strömenden Flüssigkeit vorstellen, wobei jedem Punkt (x, y, z) der Geschwindigkeitsvektor v (x, y, z) zugeordnet wird, der an ihm anliegt. Oder Kraftfeld, wobei jedem Raumpunkt (x, y, z) der Kraftvektor F (x, y, z) zugeordnet wird, der an ihm wirkt.

Darstellung von Vektorfelder

Um ein Vektorfeld graphisch darzustellen stellt Mathematica verschiedene Funktionen zur Verfügung. Die erste die ich vorstellen möchte ist VectorPlot. Diese scheint aber nur für 2-dimensionale Felder eingerichtet zu sein. Möchte man die 3. Dimension darstellen muß man die Funktion VectorPlot3D verwenden.

VFeld

Divergenz

Unter der Divergenz versteht man in der Mathematik ein bestimmtes Funktional eines Vektorfeldes. Interpretiert man dieses Feld als Strömungsfeld, so gibt die Divergenz für jede Stelle die Tendenz an, ob ein Teilchen in der Nähe zu diesem Punkt hin- bzw. von diesem Punkt wegfließt. Es sagt damit aus, ob und wo das Vektorfeld Quellen (Divergenz größer als Null) oder Senken (Divergenz kleiner als Null) hat. Ist die Divergenz überall gleich Null, so bezeichnet man das Feld als quellenfrei. Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld.

Rotation

Die Rotation ist ein Ableitungsoperator, der im dreidimensionalen Raum Vektorfelder ableitet. Handelt es sich beispielsweise um ein Strömungsfeld, so gibt die Rotation für jeden Ort die doppelte Winkelgeschwindigkeit an, mit der ein mitschwimmender Körper rotiert, also wie schnell und um welche Achse er sich dreht. Dieser Zusammenhang ist namensgebend. Es muss sich aber nicht immer um ein Geschwindigkeitsfeld und eine Drehbewegung handeln; beispielsweise betrifft das Induktionsgesetz die Rotation des elektrischen Feldes.
Ein Vektorfeld, dessen Rotation in einem Gebiet verschwindet (d. h. überall gleich Null ist), nennt man wirbelfrei oder, insbesondere bei Kraftfeldern, konservativ. Ist das Gebiet einfach zusammenhängend, so ist das Vektorfeld genau dann der Gradient einer Funktion, wenn die Rotation des Vektorfeldes im betrachteten Gebiet verschwindet.
Die Divergenz der Rotation eines Vektorfeldes verschwindet. Umgekehrt ist in einfach zusammenhängenden Gebieten ein Feld, dessen Divergenz verschwindet, die Rotation eines anderen Vektorfeldes.