Visualisierung der Ableitungsfunktion

By | 12. Januar 2020

In diesem Beitrag soll es um die Visualisierung der Ableitung einer Funktion gehen. Insbesondere um die Aufgabe, an einen gegebenen Funktionsgraphen die Tangenten anzulegen. Dazu beginnen wir mit der Definition einer beliebigen Funktion und bestimmen deren Ableitungen. Das folgende Mathematica Programm definiert eine Kubische Funktion, berechnet Funktion- und Ableitungswerte und stellt die Funktionsgraphen dar.

Möchte man nun Steigung in einem beliebigen Punkt graphisch visualisiert haben, benötigt man die Tangenten-Gleichung und eine entsprechende graphische Darstellung. Als erstes benötigen wir eine Liste mit Koordinaten der Punkte die wir auf dem Graphen darstellen möchten. Dazu nutzen wir folgenden Funktionsaufruf, der eine Liste über die Table-Funktion von x und zugehörigen f(x) Werten erzeugt:

Für unsere Tangenten-Gleichung y = m x + b kennen wir bereits die Steigung m, diese ergibt sich aus der Ableitung f ‘  an einer bestimmten Position x. Der Parameter b bestimmen wir über den Funktionswert des Graphen.

Die nun noch fehlende Ziel-Koordinate bestimmen wir über folgende Überlegung: Ausgangs-Koordinate ist der Punkt Subscript[x, 0 ]und der zugehörige Funktionswert f(Subscript[x, 0]). Die Steigung des anzulegenden Pfeils entspricht der Ableitung f \.b4(Subscript[x, 0]), damit lässt sich nun die Ziel-Koordinate berechnen in dem man auf der x-Achse ein Stück h dazu addiert und y-Position über die Steigung und den y-Achsenabschnitt berechnet:

Weitere Möglichkeit der Visualisierung

Unter Verwendung der linearen Gleichung y=mx+b wobei m der Steigung, also der Ableitung y^' entspricht in Verbindung mit der Manipulate-Funktion von Mathematica lässt sich folgende Version am Beispiel der Funktion f(x)=sin(x) erstellen: