Über die Wärmeleitgleichung…

By | 28. Juli 2017

Unter Wärmeleitung  wird in der Physik der Wärmefluss in einem Feststoff oder einem ruhenden Fluid infolge eines Temperaturunterschiedes verstanden. Wärme fließt dabei – gemäß dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik – immer nur in Richtung der geringeren Temperatur. Es gilt der Energieerhaltungssatz.

Die durch Wärmeleitung übertragene Wärmeleistung \dot {Q} in der Einheit Watt (W) wird durch das Fouriersche Gesetz  beschrieben, das für den vereinfachten Fall eines festen Körpers mit zwei parallelen Wandflächen lautet:

    \[\dot{Q} = \lambda\cdot A\cdot \frac{T_{W_{1}}-T_{W_{2}}}{d}\]

Hierbei stehen die einzelnen Formelzeichen für folgende Größen:

  • T_{W1} : Temperatur der wärmeren Wandoberfläche
  • T_{W2} : Temperatur der kälteren Wandoberfläche
  • A : Fläche, durch die die Wärme strömt
  • \lambda : Wärmeleitfähigkeit (temperaturabhängige Stoffgröße)
  • d : Durchmesser des Körpers, gemessen von Wand zu Wand

Die übertragene Wärmeleistung ist also

  • proportional zu Fläche, Wärmeleitfähigkeit und Temperaturdifferenz sowie
  • umgekehrt proportional zur Materialdicke d

Berechnung über die Wärmeleitungsgleichung

Die Wärmeleitungsgleichung beschreibt im allgemeinen einen Materialtransport aufgrund unterschiedlicher Konzentrationen. Sie ist mathematisch eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, und beschreibt in unserem Fall die Wärmeleitung in Folge der Temperaturverteilung in Abhängigkeit vom Ort x und der Zeit.

In homogenen Medien lautet die Wärmeleitungsgleichung

    \[{\frac {\partial }{\partial t}}u({\vec x},t)-a\Delta u({\vec {x}},t)=0\]

wobei u(\vec {x},t) die Temperatur an der Stelle  \vec {x} zum Zeitpunkt t, \Delta der Laplace-Operator bezüglich und die Konstante a>0 die Temperaturleitfähigkeit des Mediums ist.

Als Resultat ergibt sich dann die zeitliche wie räumliche Temperaturverteilung (Temperaturfeld). Damit kann man zum Beispiel auf das räumliche Ausdehnungsverhalten der Bauteile schließen, das seinerseits wieder den örtlichen Spannungszustand mitbestimmt. So wird die Temperaturfeldrechnung zu einer wichtigen Grundlage für alle technischen Auslegungsaufgaben.

Sollte eine eine analytische Lösung nicht möglich sein, dann verwendet man eine Näherungslösung beispielsweise auf Basis der Finite-Elemente-Methode. Auf die hier aber nicht weiter eingegangen werden soll.

Laplace-Operator

Der Laplace-Operator ordnet einem zweimal differenzierbaren Skalarfeld die Divergenz seines Gradienten zu \Delta f=\operatorname {div} \left(\operatorname {grad} \,f\right),} oder mit dem Nabla-Symbol notiert:

    \[\Delta f=\nabla \cdot (\nabla f)=(\nabla \cdot \nabla )f=\nabla ^{2}f.}\]

Das formale Skalarprodukt des Nabla-Operators mit sich selbst ergibt also den Laplace-Operator \Delta. Vor allem im englischsprachigen Raum ist für den Laplace-Operator oft die Schreibweise \nabla ^{2} zu finden.

Für eine Funktion f mit drei Variablen berechnet man somit den Laplace-Operator \Delta in kartesischen Koordinaten über die partiellen Ableitungen der Funktion in den drei Dimensionen:

    \[\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\]

Praktische Anwendung

Im folgenden soll versucht werden, zu zeigen, wie diese Zusammenhänge genutzt werden können, um ein Temperaturfeld zu erzeugen und seine zeitliche Veränderung aufzuzeigen.

Ausgangspunkt für das Temperaturfeld könnte eine einfache Matrix von 500×500 Einträgen sein.Die Einträge repräsentieren die Temperaturen in einem 2-dimensionalen Körper. Die Matrix wird mit einer Start-Konfiguration gefüllt, bei der es einen heissen (roten), einen warmen(orangen) und einen extrem kalten Bereich (dunkelblau) geben soll.

Auf die Werte dieser Matrix soll dann eine Funktion angewendet werden, die über die Wärmeleitgleichung die zeitlichen und Wärme-Veränderungen in x- und y-Richtung bestimmt und die Werte entsprechend in die Matrix einträgt.Somit müsste, die Veränderung des Temperaturfeldes visualisierter sein. Soviel zum Vorhaben, dass mit Hilfe von Mathematica realisiert werden soll.

Beispiel befindet sich noch in Bearbeitung…

Temperaturverteilung

Die Veränderung der Temperaturverteilung lässt sich über die Gleichung

    \[{\frac {\partial }{\partial t}}u({\vec x},t)-a\Delta u({\vec {x}},t)=0\]

ermitteln. Sobald sich die Temperatur nicht mehr verändert, d.h. sich ein stabiler Verteilungszustand eingestellt hat, ändern sich die Funktionswerte nicht mehr. D.h. die partiellen Ableitungen ändern sich nicht mehr, oder mit andere Worten sind Null. Mathematisch formuliert gilt dann

    \[\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}} = 0\]