Winkel in Grad und Radiant

By | 13. Februar 2017

Ein Winkel wird durch zwei Halbgeraden (Strahlen) festgelegt, die von dem gleichen Punkt aus starten. Dieser Punkt heisst Scheitelpunkt oder kurz Scheitel des Winkels und die beiden Halbgeraden nennt man die Schenkel des Winkels. Das Winkelmaß dient zur Angabe der Winkelweite eines ebenen Winkels.

Im Gradmaß wird der Vollwinkel in 360 gleich große Teile unterteilt. Ein solcher Teil wird als ein Grad bezeichnet und mit dem Einheitenzeichen ° gekennzeichnet: 1 Vollwinkel = 360°

Der Radiant (Einheitenzeichen: rad) ist ein Winkelmaß, bei dem der Winkel durch die Länge des entsprechenden Kreisbogens im Einheitskreis angegeben wird. Wegen der Betrachtung des Kreisbogens zur Kennzeichnung des Winkels wird die Angabe „im Bogenmaß“ auch Bogenwinkel genannt. Die Bogenlänge eines gegebenen Winkels ist proportional dem Radius r. Der Vollkreis (360°) hat die Bogenlänge U = 2 \pi  r, also beträgt der Vollwinkel 2 \pi rad.

 

Es gibt verschiedene Maßeinheiten für die Beschreibung der Größe eines Winkels. Neben dem bereits erwähnten Bogenmaß ist das Gradmaß sehr verbreitet. Bei dem der Vollkreis in 360 Grad aufgeteilt wird. Damit entspricht 1° dem „360-sten Teil eines Kreises“. Die Bruchteile eines Winkel-Grads können dezimalsexagesimal oder sexagesimal und dezimal kombiniert dargestellt werden.

Das Sexagesimal-System ist ein Stellenwertsystem zum Wert 60. Ein Grad wird dabei in  60 Minuten unterteilt. Eine  Minute hat wiederum 60 Sekunden. Da Winkel sowohl in der einen wie in der anderen Schreibweise dargestellt sind, soll im folgenden gezeigt werden, wie man Winkel  von dezimal in sexagesimal  und umgekehrt umrechnen kann. 

Als Beispiel soll der Winkel 51° 14′ 4,2″ (sprich: 51 Grad, 14 Minuten, 4,2 Sekunden)  in die rein dezimale Schreibweise umgerechnet werden:

  1. Schritt: Wandle Sekunden in Minuten: 4,2 Sekunden entsprechen 4,2´´ * 1´/60´´= 0,07´Minuten
    das ergibt dann: 51 Grad und 14,07´
  2. Schritt: Wandle Minuten in Grad : 14,07 ´* 1°/60´= 0,2345°
    das ergibt dann: 51,2345°

Die Umrechnung von der rein dezimalen Schreibweise des Winkels aus dem obigen Beispiel in die sexadezimal Schreibweise geht wie folgt:

  1. Schritt: Wandle Dezimalteil durch Multiplikation mit 60´/1° in  Minuten: 0,2345° * 60´/1° = 14,07´
    Integer[14,07] = 14 entspricht den Winkel-Minuten
  2. Schritt: Der verbleibende Rest 0,07´wird mit 60´´/1´ multipliziert und ergibt so die Winkel-Sekunden.
    0,07´* 60´´/1´ = 4,2´

Ausgangsüberlegung für diese Umwandlungen ist die Festlegung, dass der Vollwinkel  in 360 Grad unterteilt ist. Ein Grad dann  in 60 Winkelminuten unterteilt wird: 1° = 60′. Eine Winkelminute entspricht somit 1/60=0,016°. Eine Winkelminute wiederum besteht aus 60 Winkelsekunden: 1′ = 60″; somit gilt: 1° = 3600″.