Zahlensysteme

By | 27. Februar 2018

Zahlen werden in sogenannten Zahlensystemen dargestellt. Die Zahlen werden dabei nach bestimmten Regeln als Folge von Ziffern bzw. Zeichen dargestellt.  Üblicherweise gehen wir vom Dezimalsystem aus, wenn wir von Zahlen sprechen. Es gibt aber angefangen von kleinsten Zahlensystem, dem dualen System beliebig viele Zahlensysteme, die alle nach dem gleichen Prinzip aufgebaut sind.

Jede Zahl besteht darin aus der Summe der Ziffern des Zahlensystems multipliziert mit dem jeweiligen Stellenwert. Das uns aus dem Alltag vertraute Zehnersystem verwendet die Basis B=10 und die Ziffern

    \[Z_i={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\]

Eine Zahl im Dezimalsystem wird dementsprechend wie folgt dargestellt:

    \[Z_{10}=\sum \limits_{i=0}^n z_i \cdot B^i\]

D.h. die Zahl 2857 wäre nichts anderes als die folgende Summe:

    \[2857 = \sum \limits_{i=0}^3 z_i \cdot B^i = 2\cdot10^3 + 8\cdot10^2 + 5\cdot10^1 + 7\cdot10^0\]

Genau nach dem gleichen Schema lassen sich alle Zahlen in allen erdenklichen Zahlensystemen darstellen. Zu beachten ist, dass immer wenn die Basis des Zahlensystems erreicht ein sogenannter Übertrag erfolgt. Die nachfolgende Abbildung illustriert dies am Beispiel einiger Zahlensysteme:

Im Alltag ist das Dezimalsystem wichtig. In der Informatik bedeutsam ist das Dualsystem mit dem wir uns dann eingehender auseinandersetzen wollen. Zahlen im Binärsystem werden analog zum Dezimalsystem als Summe der Ziffern multipliziert mit dem Stellenwert der Basis 2 gebildet:

Die Ziffernfolge 10001 wŸürde als BinŠärzahl beispielsweise so beschrieben werden:

    \[\sum_{n=0}^4 a_i \cdot 2^i = (1\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 ) = 18_{10}\]

In der Software-Entwicklung haben Binäre Zählen eine große Bedeutung, da mit ihrer Hilfe verschiedenste Steuerungsaufgaben elegant durchgeführt werden können. Insbesondere in der Programmiersprache C finden sich verschiedenste Bit-Operationen: